【知識點6】期權估價原理

　　一、復制原理

　　復制原理的基本思想是：構造一個股票和借款的適當組合，使得無論股價如何變動，投資組合的損益都與期權相同，那么創建該投資組合的成本就是期權的價值。

　　【例】假設ABC公司的股票現在的市價為50元。有1股以該股票為標的資產的看漲期權，執行價格為52.08元。到期時間是6個月。6個月后股價有兩種可能：上升33.33%，或者降低25%。無風險利率為每年4%。

　　1.確定6個月后可能的股票價格

 

　復制組合原理計算期權價值的基本步驟（針對看漲期權）
（1）確定可能的到期日股票價格
上行股價Su＝股票現價S×上行乘數u
下行股價Sd＝股票現價S×下行乘數d
（2）根據執行價格計算確定到期日期權價值
股價上行時期權到期日價值Cu＝上行股價－執行價格
股價下行時期權到期日價值Cd＝0
（3）計算套期保值比率
套期保值比率＝期權價值變化/股價變化＝（CU－Cd）/（SU－Sd）
（4）計算投資組合成本（期權價值）
購買股票支出＝套期保值率×股票現價＝H×S0
借款數額＝價格下行時股票收入的現值＝（到期日下行股價×套期保值率）/（1＋r）＝ H×Sd/（1＋r）　　
期權價值＝投資組合成本＝購買股票支出－借款

　　【例·計算題】假設甲公司股票現在的市價為10元，有1股以該股票為標的資產的看漲期權，執行價格為12元，到期時間是9個月。9個月后股價有兩種可能：上升25%或者降低20%，無風險利率為每年6%。現在打算購進適量的股票以及借入必要的款項建立一個投資組合，使得該組合9個月后的價值與購進該看漲期權相等。

 

　　要求：(結果均保留兩位小數)

　　(1)確定可能的到期日股票價格;

　　(2)根據執行價格計算確定到期日期權價值;

　　(3)計算套期保值率;

　　(4)計算購進股票的數量和借款數額;

　　(5)根據上述計算結果計算期權價值;

　　[答疑編號265100306]

　　『正確答案』(1)上行股價=10×(1+25%)=12.5(元)

　　下行股價=10×(1-20%)=8(元)

　　(2)股價上行時期權到期日價值

　　=上行股價-執行價格=12.5-12=0.5(元)

　　股價下行時期權到期日價值=0

　　(3)套期保值比率=期權價值變化/股價變化=(0.5-0)/(12.5-8)=0.11

　　(4)購進股票的數量=套期保值比率=0.11(股)

　　借款數額=(到期日下行股價×套期保值率)/(1+6%×9/12)=(8×0.11)/(1+4.5%)=0.84(元)

　　(5)期權價值=購買股票支出-借款=10×0.11-0.84=0.26(元)

二、風險中性原理

　　所謂風險中性原理是指：假設投資者對待風險的態度是中性的，所有證券的預期收益率都應當是無風險利率。風險中性的投資者不需要額外的收益補償其承擔的風險。在風險中性的世界里，將期望值用無風險利率折現，可以獲得現金流量的現值。

　　在這種情況下，期望報酬率應符合下列公式：

　　期望報酬率=無風險利率=(上行概率×上行時收益率)+(下行概率×下行時收益率)

　　假設股票不派發紅利，股票價格的上升百分比就是股票投資的收益率，因此：

　　期望報酬率=無風險利率=(上行概率×股價上升百分比)+(下行概率×股價下降百分比)

　　【注】由于這里的股價下降百分比表示的是收益率，所以必須用“負值”表示。

　　假設上行概率為P，則下行概率為1-P，于是有：

　　
 

　　【例】假設ABC公司的股票現在的市價為50元。有1股以該股票為標的資產的看漲期權，執行價格為52.08元。到期時間是6個月。6個月后股價有兩種可能：上升33.33%，或者降低25%。無風險利率為每年4%。假設該股票不派發紅利。

　　要求：根據風險中性原理計算該看漲期權的價值。

　　『正確答案』(1)確定可能的到期日股票價格

　　Su=50×(1+33.33%)=66.66(元)

　　Sd=50×(1-25%)=37.5(元)

　　(2)根據執行價格計算確定到期日期權價值

　　Cu=Max(66.66-52.08，0)=14.58(元)

　　Cd=Max(37.5-52.08，0)=0

　　(3)計算上行概率和下行概率

　　期望報酬率=2%=上行概率×33.33%+(1-上行概率)×(-25%)

　　上行概率=0.4629

　　下行概率=1-0.4629=0.5371

　【提示】

　　【例·計算分析題】(2009舊制度)D公司是一家上市公司，其股票于2009年8月1日的收盤價為每股40元。有一種以該股票為標的資產的看漲期權，執行價格為42元，到期時間是3個月。3個月以內公司不會派發股利，3個月以后股價有2種變動的可能：上升到46元或者下降到30元。3個月到期的國庫券利率為4%(年名義利率)。

 

　　要求：

　　(1)利用風險中性原理，計算D公司股價的上行概率和下行概率，以及看漲期權的價值。

　　(2)如果該看漲期權的現行價格為2.5元，請根據套利原理，構建一個投資組合進行套利。

　　『正確答案』(1)股價上升百分比=(46-40)/40×100%=15%，股價下降百分比=(40-30)/40×100%=25%

　　Cu=46-42=4(元)

　　Cd=0

　　期望報酬率=4%/4=上行概率×15%-(1-上行概率)×25%

　　上行概率=0.65

　　下行概率=1-上行概率=0.35